Soal dan Pembahasan – Integral Tentu

Dengan menggunakan aturan integral dasar beserta definisi integral tentu, diperoleh
$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_{-1}^2(x^2-3)\text{d}x}& ={[{\displaystyle \frac{1}{3}}{x}^3-3x]}_{-1}^2\\ & =({\displaystyle \frac{1}{3}}(2{)}^3-3(2))-({\displaystyle \frac{1}{3}}(-1{)}^3-3(-1))\\ & =({\displaystyle \frac{8}{3}}-6)-(-{\displaystyle \frac{1}{3}}+3)\\ & ={\displaystyle \frac{8}{3}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}-6-3\\ & ={\displaystyle \frac{9}{3}}-9=-6.\end{array}$$Jadi, nilai dari $\boxed{{\displaystyle {\displaystyle {\int }_{-1}^2(x^2-3)\text{d}x=-6}}}$
(Jawaban B)

Jabarkan terlebih dahulu bentuk $(-x^3+2x-1{)}^2$ menggunakan $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2,$ yang dalam hal ini $a=-x^3$ dan $b=2x-1.$
$$\begin{array}{rl}(-x^3+2x-1{)}^2& =(-x^3{)}^2+2(-x^3)(2x-1)+(2x-1{)}^2\\ & =x^6-4x^4+2x^3+4x^2-4x+1\end{array}$$Dengan menggunakan aturan integral dasar beserta definisi integral tentu, diperoleh
$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_{-1}^1(-x^3+2x-1{)}^2\text{d}x}& ={\int }_{-1}^1(x^6-4x^4+2x^3+4x^2-4x+1)\text{d}x\\ & ={[{\displaystyle \frac{1}{7}}{x}^7-{\displaystyle \frac{4}{5}}{x}^5+{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2+{\displaystyle \frac{4}{3}}{x}^3-2x^2+x]}_{-1}^1\\ & =({\displaystyle \frac{1}{7}}(1{)}^7-{\displaystyle \frac{4}{5}}(1{)}^5+{\displaystyle \frac{1}{2}}(1{)}^2+{\displaystyle \frac{4}{3}}(1{)}^3-2(1{)}^2+(1))-({\displaystyle \frac{1}{7}}(-1{)}^7-{\displaystyle \frac{4}{5}}(-1{)}^5+{\displaystyle \frac{1}{2}}(-1{)}^2+{\displaystyle \frac{4}{3}}(-1{)}^3-2(-1{)}^2+(-1))\\ & =({\displaystyle \frac{1}{7}}-{\displaystyle \frac{4}{5}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{4}{3}}-2+1)-(-{\displaystyle \frac{1}{7}}+{\displaystyle \frac{4}{5}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{4}{3}}-2-1)\\ & ={\displaystyle \frac{2}{7}}-{\displaystyle \frac{8}{5}}+0+{\displaystyle \frac{8}{3}}+0+2\\ & ={\displaystyle \frac{30}{105}}-{\displaystyle \frac{168}{105}}+{\displaystyle \frac{280}{105}}+{\displaystyle \frac{210}{105}}\\ & ={\displaystyle \frac{352}{105}}.\end{array}$$Jadi, nilai dari $\boxed{{\displaystyle {\displaystyle {\int }_{-1}^1(-x^3+2x-1{)}^2\text{d}x={\displaystyle \frac{352}{105}}}}}$
(Jawaban C)

Dengan menggunakan aturan integral dasar beserta definisi integral tentu, diperoleh
$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_1^4(5x^2-6\sqrt{x}+{\displaystyle \frac{2}{x^2}})\text{d}x}& ={\int }_1^4(5x^2-6x^{1/2}+2x^{-2})\text{d}x\\ & ={[{\displaystyle \frac{5}{3}}{x}^3-{\displaystyle \frac{6}{3/2}}{x}^{3/2}+{\displaystyle \frac{2}{-1}}{x}^{-1}]}_1^4\\ & ={[{\displaystyle \frac{5}{3}}{x}^3-4x^{3/2}-{\displaystyle \frac{2}{x}}]}_1^4\\ & =({\displaystyle \frac{5}{3}}(4{)}^3-4(4{)}^{3/2}-{\displaystyle \frac{2}{4}})-({\displaystyle \frac{5}{3}}(1{)}^3-4(1{)}^{3/2}-{\displaystyle \frac{2}{1}})\\ & =({\displaystyle \frac{320}{3}}-32-{\displaystyle \frac{1}{2}})-({\displaystyle \frac{5}{3}}-4-2)\\ & ={\displaystyle \frac{315}{3}}-26-{\displaystyle \frac{1}{2}}\\ & =105-26-{\displaystyle \frac{1}{2}}\\ & =78{\displaystyle \frac{1}{2}}.\end{array}$$Jadi, nilai dari $\boxed{{\displaystyle {\displaystyle {\int }_1^4(5x^2-6\sqrt{x}+{\displaystyle \frac{2}{x^2}})\text{d}x=78{\displaystyle \frac{1}{2}}}}}$
(Jawaban D)

Diketahui ${\displaystyle {\int }_1^{4}f(x)\text{d}x=6.}$
Misalkan $u=5-x$ sehingga $\text{d}u=(-1)\text{d}x$ atau ekuivalen dengan $\text{d}x=-\text{d}u.$
Batas atas integral dengan variabel $u$ menjadi $u=5-x=5-4=1.$
Batas bawahnya menjadi $u=5-x=5-1=4.$
Dengan demikian,
$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_1^{4}f(5-x)\text{d}x}& ={\int }_4^{1}f(u)(-\text{d}u)\\ \text{Balikkan batas}& \text{integralnya}\\ & =-{\int }_1^{4}f(u)(-\text{d}u)\\ & ={\int }_1^{4}f(u)\text{d}u=6.\end{array}$
Ingat bahwa:
$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle {\int }_1^{4}f(x)\text{d}x={\int }_1^{4}f(u)\text{d}u}}}.$
Catatan: Mengganti variabel secara bersama tidak mengubah hasil integrasi.
Jadi, nilai dari $\boxed{{\displaystyle {\displaystyle {\int }_1^{4}f(x)\text{d}x=6}}}$
(Jawaban A)

Dengan menggunakan cara yang sama seperti menentukan nilai sebuah integral tentu, kita peroleh
$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_1^a(2x+3)\text{d}x}& =6\\ {[x^2+3x]}_1^a& =6\\ (a^2+3a)-((1{)}^2+3(1))& =6\\ a^2+3a-10& =0\\ (a+5)(a-2)& =0.\end{array}$
Diperoleh nilai $a=-5$ atau $a=2.$
Karena $a$ merupakan batas atas integral yang nilainya harus lebih besar dari batas bawahnya, yaitu $1$, diambil ambil $a=2.$
(Jawaban B)

Dengan menggunakan cara yang sama seperti menentukan hasil integral tentu, kita peroleh
$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_0^4(3x^2+px-3)\text{d}x}& =68\\ {[x^3+{\displaystyle \frac{p}{2}}{x}^2-3x]}_0^4& =68\\ (4^3+{\displaystyle \frac{p}{\cancel{2}}}\cdot {\cancel{4^2}}^8-3(4))-0& =68\\ 64+8p-12& =68\\ 52+8p& =68\\ 8p& =16\\ p& =2.\end{array}$
Jadi, nilai $\boxed{{\displaystyle p=2}}$
(Jawaban C)

Ubah bentuk integrannya terlebih dahulu.
$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{2+x}{2\sqrt{x}}}& ={\displaystyle \frac{2}{2\sqrt{x}}}+{\displaystyle \frac{x}{2\sqrt{x}}}\\ & =x^{-1/2}+{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^{1/2}\end{array}$
Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_9^{16}{\displaystyle \frac{2+x}{2\sqrt{x}}}\text{d}x}& ={\int }_9^{16}(x^{-1/2}+{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^{1/2})\text{d}x\\ & ={[{\displaystyle \frac{1}{1+(-1/2)}}{x}^{-1/2+1}+{\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{1+1/2}}{x}^{1/2+1}]}_9^{16}\\ & ={[2x^{1/2}+{\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{2}{3}}{x}^{3/2}]}_9^{16}\\ & ={[2x^{1/2}+{\displaystyle \frac{1}{3}}{x}^{3/2}]}_9^{16}\\ & =(2(16{)}^{1/2}+{\displaystyle \frac{1}{3}}(16{)}^{3/2})-(2(9{)}^{1/2}+{\displaystyle \frac{1}{3}}(9{)}^{3/2})\\ & =2(4)+{\displaystyle \frac{1}{3}}(64)-2(3)-{\displaystyle \frac{1}{3}}(27)\\ & =8+{\displaystyle \frac{64}{3}}-6-9\\ & =-7+{\displaystyle \frac{64}{3}}={\displaystyle \frac{43}{3}}.\end{array}$$Jadi, nilai dari $\boxed{{\displaystyle {\displaystyle {\int }_9^{16}{\displaystyle \frac{2+x}{2\sqrt{x}}}\text{d}x={\displaystyle \frac{43}{3}}}}}$
(Jawaban E)

Periksa pernyataan I:
Kelinearan dalam integral tidak berlaku untuk perkalian dua atau lebih fungsi. Dengan kata lain,
$${\displaystyle {\int }_a^{b}f(x)g(x)\text{d}x\ne ({\int }_a^{b}f(x)\text{d}x)({\int }_a^{b}g(x)\text{d}x).}$$Periksa pernyataan II:
Pernyataan ini benar. Sifat ini dikenal sebagai kelinearan dalam integral (berlaku untuk penjumlahan dan pengurangan fungsi-fungsi).
Periksa pernyataan III:
Notasi akar dari fungsi (integran) tidak boleh ditarik keluar (kita seolah-olah mencari nilai dari integral tentu fungsi tersebut (tanpa notasi akar), lalu mengakarkan nilainya). Dengan kata lain,
${\displaystyle {\int }_a^b\sqrt{f(x)}\text{d}x\ne \sqrt{{\displaystyle {\int }_a^{b}f(x)\text{d}x}}.}$
Jadi, hanya pernyataan II yang bernilai benar.
(Jawaban B)

Cek pernyataan 1:
Berdasarkan sifat kelinearan integral, $g(a)$ yang bahwasanya adalah sebuah konstanta, dapat keluar dari posisinya sebagai integran.
Jadi, pernyataan 1 benar.
Cek pernyataan 2:
Berdasarkan sifat kelinearan integral, integral dari penjumlahan dua fungsi sama dengan jumlah dari integral masing-masing fungsi. Dalam hal ini, kita dapat menganggap $f(a)$ sebagai fungsi konstan.
Jadi, pernyataan 2 benar.
Cek pernyataan 3:
Berdasarkan sifat kelinearan integral, $g(a)$ yang bahwasanya merupakan suatu konstanta, dapat keluar masuk dari notasi integral tanpa memengaruhi hasilnya.
Jadi, pernyataan 3 benar.
Cek pernyataan 4:
Pernyataan 4 bernilai benar. Pernyataan 4 merupakan salah satu sifat dari kelinearan integral.
(Jawaban E)

Karena ${\displaystyle {\int }_0^{1}f(x)\text{d}x=1}$, diperoleh
$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_0^{1}f(x)\text{d}x}& =1\\ {\int }_0^1(ax+b)\text{d}x& =1\\ {[{\displaystyle \frac{1}{2}}a{x}^2+bx]}_0^1& =1\\ {\displaystyle \frac{1}{2}}a(1{)}^2+b(1)-0& =1\\ {\displaystyle \frac{1}{2}}a+b& =1.& & (\cdots 1)\end{array}$$Karena ${\displaystyle {\int }_1^{2}f(x)\text{d}x=5,}$ diperoleh
$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_1^{2}f(x)\text{d}x}& =5\\ {\int }_1^2(ax+b)\text{d}x& =5\\ {[{\displaystyle \frac{1}{2}}a{x}^2+bx]}_1^2& =5\\ {\displaystyle \frac{1}{2}}a(2{)}^2+b(2)-{\displaystyle \frac{1}{2}}a(1{)}^2-b(1)& =5\\ {\displaystyle \frac{3}{2}}a+b& =5.& & (\cdots 2)\end{array}$$Dari Persamaan $(1)$ dan $(2)$ (membentuk SPLDV), kita peroleh nilai $a=4$ dan $b=-1.$ Jadi, nilai $\boxed{{\displaystyle a+b=4+(-1)=3}}$
(Jawaban C)

Diketahui
$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_{-1}^{3}f(x)\text{d}x}& =3\\ {\int }_{-1}^{3}3g(x)\text{d}x& =-6\\ \Rightarrow {\int }_{-1}^{3}g(x)\text{d}x& =-2.\end{array}$
Dengan menggunakan sifat kelinearan integral, diperoleh
$\begin{array}{rl}& {\displaystyle {\int }_{-1}^3(2f(x)-g(x))\text{d}x}\\ & =2{\int }_{-1}^{3}f(x)\text{d}x-{\int }_{-1}^{3}g(x)\text{d}x\\ & =2(3)-(-2)=6+2=8.\end{array}$
Jadi, nilai dari $\boxed{{\displaystyle {\displaystyle {\int }_{-1}^3(2f(x)-g(x))\text{d}x=8}}}$
(Jawaban E)

Diketahui
$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_{-5}^{2}f(x)\text{d}x}& =-17\\ {\int }_5^{2}f(x)\text{d}x& =-4.\end{array}$
Karena ${\displaystyle {\int }_5^{2}f(x)\text{d}x=-4,}$ dengan membalikkan batas integralnya dan menambahkan tanda negatif di depan, diperoleh ${\displaystyle {\int }_2^{5}f(x)\text{d}x=4.}$
Selanjutnya, dengan menggunakan sifat kekontinuan batas integral, diperoleh
$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_{-5}^{5}f(x)\text{d}x}& ={\int }_{-5}^{2}f(x)\text{d}x+{\int }_2^{5}f(x)\text{d}x\\ & =-17+4=-13.\end{array}$$Jadi, nilai dari $\boxed{{\displaystyle {\displaystyle {\int }_{-5}^{5}f(x)\text{d}x=-13}}}$
(Jawaban B)

Fungsi $f$ disebut fungsi ganjil karena memenuhi $f(-x)=-f(x).$
Untuk itu, dalam integral berlaku ${\displaystyle {\int }_{-a}^{a}f(x)\text{d}x=0}$ untuk setiap bilangan real $a.$
Diketahui ${\displaystyle {\int }_{-2}^{1}f(x)\text{d}x=4.}$ Dari sini, diperoleh
$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_{-2}^{-1}f(x)\text{d}x+{\int }_{-1}^{1}f(x)\text{d}x}& =4\\ {\int }_{-2}^{-1}f(x)\text{d}x+0& =4\\ {\int }_{-2}^{-1}f(x)\text{d}x& =4.\end{array}$
Jadi, nilai dari $\boxed{{\displaystyle {\displaystyle {\int }_{-2}^{-1}f(x)\text{d}x=4}}}$
(Jawaban D)

Diketahui
$\begin{array}{rl}1){\displaystyle {\int }_b^{a}f(x)\text{d}x}& =5\\ ⟹{\int }_a^{b}f(x)\text{d}x& =-5\\ 2){\int }_c^{a}f(x)\text{d}x& =0.\end{array}$
Berdasarkan sifat kekontinuan batas integral, diperoleh
$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_c^{b}f(x)\text{d}x}& ={\int }_c^{a}f(x)\text{d}x+{\int }_a^{b}f(x)\text{d}x\\ & =0+(-5)=-5.\end{array}$$Jadi, nilai dari $\boxed{{\displaystyle {\displaystyle {\int }_c^{b}f(x)\text{d}x=-5}}}$
(Jawaban D)

Fungsi $f$ disebut fungsi genap karena berlaku $f(x)=f(-x).$
Karena itu, berlaku
$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_{-3}^{3}f(x)\text{d}x}& =6\\ 2{\int }_0^{3}f(x)\text{d}x& =6\\ {\int }_0^{3}f(x)\text{d}x& =3.\end{array}$
Selanjutnya, dengan menggunakan sifat kekontinuan batas integral, diperoleh
$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_0^{3}f(x)\text{d}x}& =3\\ {\int }_0^{2}f(x)\text{d}x+{\int }_2^{3}f(x)\text{d}x& =3\\ {\int }_0^{2}f(x)\text{d}x+1& =3\\ {\int }_0^{2}f(x)\text{d}x& =2.\end{array}$
Jadi, nilai dari $\boxed{{\displaystyle {\displaystyle {\int }_0^{2}f(x)\text{d}x=2}}}$
(Jawaban B)

Karena berlaku $f(x+3)=f(x),$ setiap penambahan/pengurangan kelipatan $3$ terhadap batas integral tidak mengubah nilai/hasil perhitungan ntegral tentunya. Untuk itu, berlaku
$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_1^{10}f(x)\text{d}x}& =12\\ {\int }_{1+6}^{10+6}f(x)\text{d}x& =12\\ {\int }_7^{16}f(x)\text{d}x& =12.\end{array}$
dan
$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_{-4}^{-2}f(x)\text{d}x}& =-10\\ {\int }_{-4+9}^{-2+9}f(x)\text{d}x& =-10\\ {\int }_5^{7}f(x)\text{d}x& =-10.\end{array}$
Selanjutnya, dengan menggunakan sifat penukaran batas integral beserta kekontinuan batas integral, diperoleh
$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_{16}^{5}f(x)\text{d}x}& =-{\int }_5^{16}f(x)\text{d}x\\ & =-({\int }_5^{7}f(x)\text{d}x+{\int }_7^{16}f(x)\text{d}x)\\ & =-((-10)+12)=-2.\end{array}$$Jadi, nilai dari $\boxed{{\displaystyle {\displaystyle {\int }_{16}^{5}f(x)\text{d}x=-2}}}$
(Jawaban B)

Karena berlaku $f(x-5)=f(x),$ setiap penambahan/pengurangan kelipatan $5$ terhadap batas integral tidak mengubah nilai/hasil perhitungan integral tentunya. Untuk itu, berlaku
$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_1^{5}f(x)\text{d}x}& =3\\ {\int }_{1+5}^{5+5}f(x)\text{d}x& =3\\ {\int }_6^{10}f(x)\text{d}x& =3\\ {\int }_{6+5}^{10+5}f(x)\text{d}x& =3\\ {\int }_{11}^{15}f(x)\text{d}x& =3\end{array}$
dan
$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_{-5}^{-4}f(x)\text{d}x}& =2\\ {\int }_{-5+10}^{-4+10}f(x)\text{d}x& =2\\ {\int }_5^{6}f(x)\text{d}x& =2\\ {\int }_{5+5}^{6+5}f(x)\text{d}x& =2\\ {\int }_{10}^{11}f(x)\text{d}x& =2.\end{array}$
Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_5^{15}f(x)\text{d}x}& ={\int }_5^{6}f(x)\text{d}x+{\int }_6^{10}f(x)\text{d}x+{\int }_{10}^{11}f(x)\text{d}x+{\int }_{11}^{15}f(x)\text{d}x\\ & =2+3+2+3=10.\end{array}$$Jadi, nilai dari $\boxed{{\displaystyle {\displaystyle {\int }_5^{15}f(x)\text{d}x=10}}}$
(Jawaban D)

Misalkan ${\displaystyle \int f(x)\text{d}x=F(x)+C.}$ Ini berarti
$\begin{array}{rl}{\displaystyle \int f(-x)\text{d}x}& =\int (f(x)-3)\text{d}x\\ & =F(x)-3x+C.\end{array}$
Dengan demikian, diperoleh
$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_1^{5}f(x)\text{d}x}& =2\\ ⟹F(5)-F(1)& =2& & (\cdots 1)\end{array}$
dan
$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_3^{5}f(x)\text{d}x}& =-3\\ ⟹F(5)-F(3)& =-3.& & (\cdots 2)\end{array}$
Eliminasi $F(5)$ dari kedua persamaan di atas sehingga diperoleh $\boxed{{\displaystyle F(3)-F(1)=5}}.$ Selanjutnya,
$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_{-3}^{-1}f(x)\text{d}x}& ={\int }_3^{1}f(-x)(-\text{d}x)\\ & ={\int }_1^{3}f(-x)\text{d}x\\ & ={[F(x)-3x]}_1^3\\ & =(F(3)-F(1))-3(3-1)\\ & =5-3(2)=-1.\end{array}$$Jadi, nilai dari $\boxed{{\displaystyle {\displaystyle {\int }_{-3}^{-1}f(x)\text{d}x=-1}}}$
(Jawaban B)

Diketahui ${\displaystyle {\int }_1^{2}f(x)\text{d}x=\sqrt{2}.}$
Misalkan $u=\sqrt{x}=x^{1/2}$ sehingga $\text{d}u={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^{-1/2}={\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}}}.$
Substitusikan pada ${\displaystyle {\int }_1^4{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x}}}f(\sqrt{x})\text{d}x}$ dengan perubahan
$\begin{array}{rl}\text{Batas atas}& =u=\sqrt{4}=2\\ \text{Batas bawah}& =u=\sqrt{1}=1.\end{array}$
Dengan demikian, kita dapatkan
$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_1^4{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x}}}f(\sqrt{x})\text{d}x}& =2{\int }_1^4{\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}}}f(\sqrt{x})\text{d}x\\ & =2{\int }_1^{2}f(u)\text{d}u\\ & =2\sqrt{2}.\end{array}$$Catatan: Perhatikan bahwa ${\displaystyle {\int }_1^{2}f(x)\text{d}x={\int }_1^{2}f(u)\text{d}u=\sqrt{2}.}$
(Jawaban D)

Perhatikan bahwa
$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_{-2}^{2}f(x)(x^3+1)\text{d}x}& =4\\ {\int }_{-2}^{2}f(x)\cdot x^3\text{d}x+{\int }_{-2}^{2}f(x)\text{d}x& =4.\end{array}$
Karena $f(x)$ fungsi genap, sedangkan $g(x)=x^3$ merupakan fungsi ganjil, maka hasil kalinya adalah fungsi ganjil sehingga ${\displaystyle {\int }_{-2}^{2}f(x)\cdot x^3\text{d}x=0.}$ Artinya,
$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_{-2}^{2}f(x)(x^3+1)\text{d}x}& =4\\ {\int }_{-2}^{2}f(x)\text{d}x& =4\\ 2{\int }_0^{2}f(x)\text{d}x& =4\\ {\int }_0^{2}f(x)\text{d}x& =2.\end{array}$
Selanjutnya,
$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_0^{2}f(x)\text{d}x}& ={\int }_0^{2}f(x)\text{d}x+{\int }_1^{2}f(x)\text{d}x\\ 2& =3+{\int }_{-2}^{-1}f(x)\text{d}x\\ -1& ={\int }_{-2}^{-1}f(x)\text{d}x.\end{array}$$Jadi, nilai dari $\boxed{{\displaystyle {\displaystyle {\int }_{-2}^{-1}f(x)\text{d}x=-1}}}$
(Jawaban B)

Integralkan terlebih dahulu, lalu kita substitusikan $x=2$ untuk mencari nilai konstanta integral tak tentu $C.$
$$\begin{array}{rl}f(x)& ={\displaystyle \int x\text{d}x+{\int }_0^{1}x\text{d}x+{\int }_1^{2}x\text{d}x}\\ & =({\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2+C)+{\left[{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2\right]}_0^1+{\left[{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2\right]}_1^2\\ & ={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2+C+{\displaystyle \frac{1}{2}}(1^2-0^2)+{\displaystyle \frac{1}{2}}(2^2-1^2)\\ & ={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2+C+{\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}(3)\\ & ={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2+C+2\\ f(2)& ={\displaystyle \frac{1}{2}}(2{)}^2+C+2\\ 4& =2+C+2\\ C& =0\end{array}$$Dengan demikian, $f(x)={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2+2$ sehingga $\boxed{{\displaystyle f(0)={\displaystyle \frac{1}{2}}(0{)}^2+2=2}}$
(Jawaban B)

Diketahui $f(x)={\displaystyle 4x^3+3x^2+2x+{\int }_0^{2}f(x)\text{d}x.}$ Perhatikan bahwa ekspresi ${\displaystyle {\int }_0^{2}f(x)\text{d}x}$ merupakan suatu konstanta, kita notasikan saja dengan $C.$
Dengan demikian, diperoleh turunan pertama $f(x)$, yakni $f^{\prime }(x)=12x^2+6x+2,$ dan turunan keduanya adalah $f^{\prime \prime }=24x+6.$ Selanjutnya,
$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_0^{2}f(x)\text{d}x}& ={\int }_0^2(4x^3+3x^2+2x+C)\text{d}x\\ C& ={[x^4+x^3+x^2+Cx]}_0^2\\ C& =((2{)}^4+(2{)}^3+(2{)}^2+C(2))-0\\ C& =16+8+4+2C\\ C& =-28.\end{array}$$Ini berarti, $f(x)=4x^3+3x^2+2x-28$ sehingga $f(2)=4(2{)}^3+3(2{)}^2+$ $2(2)-28=20.$
Oleh karena itu, diperoleh
$\begin{array}{rl}& {\displaystyle {\int }_0^2(f^{\prime \prime }(x)+f(2))\text{d}x}\\ & ={\int }_0^2(24x+6+20)\text{d}x\\ & ={\int }_0^2(24x+26)\text{d}x\\ & ={[12x^2+26x]}_0^2\\ & =(12(2{)}^2+26(2))-0\\ & =48+52=100.\end{array}$
Jadi, nilai dari integral tersebut adalah $\boxed{{\displaystyle 100}}$
(Jawaban E)